Öklid Bağıntısı - Pisagor teoremi - Tarihte Kullanılışı

Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:



a2 = c2 + b2 , a uzunluğu hipotenüstür.

c ve b uzunlukları ise dik kenarlardır.

Her kenardan birer kare oluşturulur.

Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır.

Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur.

Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur.



Öklide göre;

h2 = p.k
c2 = p.a
b2 = k.a
a.h = b.c
1/h2 = 1/b2 + 1/c2 'dir.
Öklid Bağıntısı

• | AB | 2 = | BH | . | BC |
• | AC | 2 = | CH | . | BC |
• | AH | 2 = | BH | . | CH |
<!-- /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:""; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} a:link, span.MsoHyperlink {color:blue; text-decoration:underline; text-underline:single;} a:visited, span.MsoHyperlinkFollowed {color:purple; text-decoration:underline; text-underline:single;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:70.85pt 70.85pt 70.85pt 70.85pt; mso-header-margin:35.4pt; mso-footer-margin:35.4pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} --> Öklid Bağıntılarının İspatları

TEOREM
• Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların geometrik ortasıdır.

İSPAT
Yandaki şekilde,
teorem ifadesine göre:

[AB] ┴ [AC] ve
[AH] ┴ [BC] ise

|HA|2 = |HB| . |HC|
olduğunu göstermemiz gereklidir.

Teorem 1’den faydalanarak HBA ~ HAC yazabiliriz.

Benzer iki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı olduğundan,

|HB| |HA| olur.
|HA| |HC|

 h2 = p . k
àBuradan, |HA|2 = |HB| . |HC|  bulunur.


Teorem

• Bir dik üçgende, her bir dik kenarın uzunluğu, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki dik iz düşümünün uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun geometrik ortasına eşittir.

İSPAT
Yandaki şekilde [AB] ┴ [AC] ve [AH] ┴ [BC] verilmiştir.

Teorem 1’den faydalanarak HBA ~ ABC yazabiliriz.

Buna göre,

|HB| |BA|
|AB| |BC|

Bundan yola çıkarak |AB|2 = |BH| . |HC| à c2 = p . a bulunur.

Aynı zamanda HAC ~ ABC olur. Buradan,

|HC| |AC|
|AC| |BC|

|AC|2 = |HC| . |BC| à b2 = k . a bulunur.

Teorem 2 ve Teorem 3’te ifade edilen,

h2 = p . k
c2 = p . a
b2 = k . a

bağıntılarına Öklid Bağıntıları denir.


Teorem

• Bir dik üçgende iki dik kenar uzunlukları çarpımı, hipotenüse ait yükseklik ile hipotenüs uzunluğu çarpımına eşittir.

İSPAT
Yandaki şekilde, Teorem 1’den
faydalanarak HBA ~ ABC yazılabilir. Buradan,

|AC| |BC|
|HA| |BA|

|BC| . |HA| = |AC| . |BA| veya

a . h = b . c bulunur.

SONUÇ
Yukarıdaki gibi bir ABC dik üçgeninde, hipotenüse ait yükseklik h ile gösterilirse

1 1 1
h2 b2 c2

|BC|  a . h = b . c
à. |HA| = |AC| . |BA|  bulunur.


AÇIKLAMA
Yukarıdaki şekle göre Öklid bağıntılarından faydalanılarak,

b2 = k . a à k =
yazabiliriz.
c2 = p . a à p =


Pisagor Teoremi

Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarların karelerinin toplamları hipotenüsün karesine eşittir.

Bunun ispatı şuna dayanmaktadır:

c2 = a2 + b2 c uzunluğu hipotenüstür. a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır. Her kenardan birer kare oluşturulur. Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak a2,b2,c2 şeklinde sıralanır. Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur. Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde öklid bağıntısı kurulur. (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir.) Öklide göre

a2 = p(p + q)

yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir. Bu durumda

a2 = p.c

olacaktır. Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır. Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz.

a2 = p.(p + q)b2 = q.(p + q)
p + q = c
a2 = p.c,b2 = q.c olacaktır. Bunu takiben,

a2 + b2 = p.c + q.c
a2 + b2 = c.(p + q)
p + q = c
a2 + b2 = c.c
a2 + b2 = c2

olacaktır.

<!--[if !supportLineBreakNewLine]-->

<!-- /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:""; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} a:link, span.MsoHyperlink {color:blue; text-decoration:underline; text-underline:single;} a:visited, span.MsoHyperlinkFollowed {color:purple; text-decoration:underline; text-underline:single;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:70.85pt 70.85pt 70.85pt 70.85pt; mso-header-margin:35.4pt; mso-footer-margin:35.4pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} --> Matematikte, Pisagor Teoremi, ÖkliT GeOmEtRiSinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.
<!-- /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:""; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; mso-pagination:widow-orphan; font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:"Times New Roman";} a:link, span.MsoHyperlink {color:blue; text-decoration:underline; text-underline:single;} a:visited, span.MsoHyperlinkFollowed {color:purple; text-decoration:underline; text-underline:single;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:70.85pt 70.85pt 70.85pt 70.85pt; mso-header-margin:35.4pt; mso-footer-margin:35.4pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} -->


Sayısal Örnek ve Tarihte Kullanılışı

En yaygin olarak karşılaşılan örneklerden biri "3-4-5" üçgenidir. (32 + 42 = 52)
Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder.

Diğer örnekleri ise 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41 ...

Aslında köklü uzunluğu olmayan bir dik üçgen elde etmek için formul vardır:
Pisagor teoremi bir dik açı oluşturmak için kullanılabilir. Şöyle ki:
  1. Yeterli uzunlukta bir halatı(ya da ipliği) eşit 12 parçaya ayıracak şekilde işaretleyin.
  2. Bu işaretlerden 3. ve 5. (3+5) noktalari sabitleyip, ipin açıkta kalan iki ucunu (gergin olacak şekilde) birleştirin.
  3. 3. işaretin bulunduğu noktada bir dik açı elde edersiniz.
  4. Bu yöntemin geçmişte tarım alanlarının paylaşılması, arazi sınırlarının belirlenmesi gibi alanlarda kullanıldığı bilinmektedir.

Yorum Yaz